蒙特卡洛方法

wiki解释:蒙特卡洛

重点在于：蒙特卡罗方法在数学中的应用，下面摘要了关键的部分。

蒙特卡洛积分

非权重蒙特卡罗积分，也称确定性抽样，是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。

此种方法的正确性是基于概率论和中心极限定理)。

当抽样点数为m时，使用此种方法所得近似解的统计误差只与m有关（与 $\frac{1}{\sqrt m}$正相关），不随积分维数的改变而改变。因此当积分维度较高时，蒙特卡罗方法相对于其他数值解法更优。

蒙脱卡洛方法推导

首先，有一组独立同分布的随机变量 $\{ X_i \}$ 。注意这是独立同分布的集合包括了多个随机变量。

每一个随机变量 $X_i$ 在 $[a,b]$ 上服从分布 $f_x$ （概率密度函数PDF，积分为1）。

我们构造一个新的函数 $g^*(x) = \frac{g(x)}{f_x{(x)}}$ ， 然后 $g^*(X_i)$ 也是一个随机变量。

关键： $g^*(X_i )$ 的概率为 $f_x(X_i)$ !!!

我们现在计算这个新的随机变量的期望：

根据强大数定理：

我们项构造一个平均值 $\hat I$ ，则 $\hat I$ 依1概率收敛到 $I$ ：

在完成以上的准备条件之后，我们进行实际推导：

问题： 我们希望求解积分：

求解：

1. 假设函数 $g(x)$ 分布在 $[a,b]$ 内可积。

2. 构造任意一个概率密度函数 $f_x (x)$. 满足：

   a. 当 $g(x) \neq 0$ 时， $f_x(x) \neq 0$ , $(a < x < b)$ .

   b. $\int_a^b f_x(x) dx = 1$.

引入上面条件,原积分（期望）可以写成：

根据强大数定理得到的平均值（期望估计）变为：

根据之前的说明：随着采样次数增多 $\hat I$ 依概率1收敛到 $I$ ：

所以 $\hat I$ 可以作为 $I$ 的一个估计。

如果 $f_x$ 是 $[a , b ]$ 上的一个均匀分布的话，那么积分就变成了:

均值就变成了 （ $f_x$ 消失了）：

$\hat I$ 就是 $I$ 的估计，蒙特卡洛积分就是：

用 $\frac {b - a}{N} \sum_{i=1}^{N} g(X_i)$ 估计 $\int _a^b g(x) d x$。

蒙特卡洛在渲染当中的应用

这里主要来自一本书：

《Monte Carlo Methods in Global Illumination - Photo-realistic Rendering with Randomization》

主要用来用随机采样的方法解决全局光照渲染的问题。

因为，全局光照的积分是一个难以求和的积分，刚好符合蒙特卡洛积分的思路。